На этой странице мной были опубликованы соотношения для оценки предельной скорости снаряда, достижимой в одноступенчатой пушке Гаусса, а также было обещано, что в дальнейшем будут приведены аналогичные формулы, которые обобщают эти выводы на случай многоступенчатых ускорителей. 

Чтобы это сделать, вначале представим себе собственно многокатушечный койлган, состоящий из N последовательно расположенных обмоток (рис.1). Сохраняя обозначения предыдущих статей, запишем длину каждой катушки как с, тогда суммарная длина ускоряющего тракта будет l = c·N (на самом деле, в реальной конструкции между обмотками должны еще помещаться какие-то разделяющие элементы, датчики и т. д., но здесь мы такие детали опустим).

Рис. 1. Многоступенчатый ускоритель

Традиционный способ функционирования этой системы заключается в следующем: каждая катушка включается в тот момент, когда ускоряемое тело приближается к ее передней грани, и отключается при достижении снарядом некоей оптимальной точки (в ранее принятых обозначениях, это соответствует координатам x₁ и x₂ носа снаряда относительно торца катушки ). Затем срабатывает следующая обмотка и так далее, пока снаряд не вылетает из ствола ускорителя. На практике могут реализовываться более сложные алгоритмы - например, могут быть одновременно включены не одна, а сразу несколько ступеней (тогда реализуется принцип так называемой "бегущей волны", о котором мы обязательно поговорим в одной из следующих публикаций). В данной статье, не вдаваясь в эти сложности, мы предположим, что в каждый момент времени работает не более одной катушки, а во всех катушках ток нарастает и спадает мгновенно (как показано здесь, это соответствует наиболее благоприятным условиям для разгона снаряда).

При соблюдении указанных условий, приращение кинетической энергии  снаряда на каждой ступени будет описываться формулой (9) на этой странице, а именно:

(1)

где "геометрическая" функция 

а через h обозначен форм-фактор катушки:

(2)

Напомним также, что коэффициент a равен отношению калибра обмоточного провода "по меди" к его диаметру в изоляции, δ - удельное сопротивление проводника обмотки (для меди δ ≈ 0,0175 Ом·мм²/м), через В_нас обозначена индукция насыщения материала снаряда (для железа В_нас ≈ 2 Тл), z - длина снаряда, а P - мощность источника питания.

При этих условиях очевидно, что все катушки будут иметь одинаковые габариты и потреблять одинаковую мощность P, а задача оптимизации нашего койлгана сводится к подбору их геометрических параметров D и c, а также длины снаряда z и координат включения/выключения  x₁ и x₂, которые при заданных величинах a, P и калибре d будут соответствовать максимальной выходной скорости снаряда.

Приращение кинетической энергии, описываемое величиной (1), снаряд будет получать при прохождении каждой из N ступеней нашего ускорителя. Поскольку мы договорились, что ступени одинаковые, то получим классическое описание равноускоренного движения, которое будет тем достовернее, чем большее количество ступеней мы имеем (тогда можно с большой точностью пренебречь неравномерностью ускорения снаряда в пределах отдельной катушки).

В таком случае, можно воспользоваться соотношением (14а) для одноступенчатой системы с этой страницы, с той только разницей, что длина ускорения (читай - приобретенная кинетическая энергия) увеличивается в N раз:

(3)

здесь геометрическая функция 

(4)

Напомню, что при рассмотрении оптимальных параметров одноступенчатой системы оказывалось, что максимум скорости достигается при устремлении длины ускоряемого тела z к нулю и выборе "идеальной" формы обмотки (D = 3d, c = 2d). В этом случае разгон велся с бесконечного удаления от катушки (и длился, соответственно, бесконечно долго). Очевидно, что в  многокатушечном ускорителе ограниченных размеров такая идеализация невозможна - нам надо рассмотреть произвольные, но конечные значения z,  x₁ и x₂ - они должны быть ограничены только тем, чтобы (как мы условились ранее) активные состояния соседних катушек не "перекрывались", т. е. x₁+x₂ < c.

Для удобства дальнейшего рассмотрения, переведем все геометрические параметры в безразмерный вид, выразив их через калибр ускорителя d:

 D = α·d, c = β·d, z = γ·d, x₁ = φ₁·d, x₂ = - φ₂·d (см. рис. 2).

Рис. 2. Схема обозначений геометрических параметров.

Кроме того, учтем тот факт, что активные состояния катушек могут быть разнесены по координате (т. е. каждая следующая обмотка включается спустя какое-то время после выключения предыдущей) - в этом случае мгновенная мощность в формуле (3) может быть выше средней в  β/(φ₁₊φ₂) раз.

В итоге получим соотношение для выходной скорости койлгана длиной l:

(5)

где геометрический множитель

(6)

а функция Y является безразмерным выражением форм-фактора катушки (2):

Заметим, что изменения в (5) по сравнению с аналогичным соотношением для одноступенчатого ускорителя состоит только в изменении численного коэффициента (из-за изменения границ интегрирования в (3)), и в появлении под корнем множителя l/d. Однако в данном случае можно получить зависимость скорости не от мощности источника (которая, вообще говоря, может меняться в очень больших диапазонах), а от энергоемкости ускорителя E (т. е. от затрачиваемой на выстрел энергии), что намного более полезно.

Для этого заметим, что в виде (5) мы имеем следующее соотношение для скорости снаряда:

где A - некий числовой множитель.

Вспомним, что для равноускоренного движения длительность ускорения t может быть выражена через конечную скорость и дистанцию как

Выражая мощность P = E / t и комбинируя соотношения (5') и (7), получим :

Подставляя в численный множитель A в (8) все величины из (5), окончательно получим:

(9)

Здесь d и l выражены в сантиметрах, а энергия, затраченная на ускорение снаряда - в Джоулях.

Формула (9) является базовым соотношением, которое позволяет оценить скорость снаряда произвольной длины, ускоряемого цепочкой катушек суммарной длиной l, геометрические параметры которых и координаты их включения/выключения описываются геометрическим множителем W_f. На рис. 3 проиллюстрированы зависимости W_f от некоторых параметров при фиксированных значениях координат активации: φ₁ = ½(β-γ), φ₂ = ½(γ+β), что соответствует включению каждой следующей катушки при нахождении снаряда точно в середине предыдущей. 

Собственно, W_f  и представляет собой всю "изюминку" установленного нами соотношения.

Если ускоритель оптимизирован (т. е. размеры снаряда и катушек, а также временные диаграммы их работы подобраны правильно), то W_f принимает максимальное значение. Таким образом, для нахождения предельной скорости, достижимой в конкретной системе, необходимо  определить максимальную величину W_f  в зависимости от его параметров.

Поскольку параметров этих целых пять штук, то для этой цели лучше воспользоваться компьютером, что я с делал с помощью пакета MathCad. В итоге, было получено, что абсолютный максимум  W_f   составляет W_{f max}  ≈ 0.329, и достигается при следующих значениях параметров: γ = 0, α = 1.77, β = 0, φ₁ = 0.882 φ₂ = -0.066. Точность моделирования по переменным здесь составляет 0,001.

Таким образом, предельная скорость достигается для бесконечно короткого снаряда и бесконечно "плоской" катушки.

Теперь, наконец, мы можем получить формулу для максимально достижимой скорости снаряда в многоступенчатом ускорителе в явном виде. Подставляя в (9) W_f   = W_{f max}  ≈ 0.329, имеем:

(10)

Еще раз напомним смысл входящих в формулу параметров:

a - безразмерное отношение калибра обмоточного провода "по меди" к его эффективному диаметру в изоляции (обычно получается a= 0,75..0,85)

В_нас - индукция насыщения материала снаряда, Тл 

δ - удельное сопротивление проводника обмотки, Ом·мм²/м

E - затрачиваемая на выстрел электрическая энергия, Дж

ρ - плотность материала снаряда, кг/м³

d - калибр койлгана - внутренний диаметр катушек, см

l - суммарная длина ускоряющих катушек, см.

Попробуем провести оценку предельно достижимой скорости в такой системе: ускоритель с энергоемкостью E = 500 Дж, имеющий 10 намотанных медным проводом со средней плотностью a= 0,8 катушек калибра d = 0,8 cм длиной 2 см каждая (т. е. рассматриваем вполне себе портативный койлган средней мощности).

Получим для снаряда из железа (В_нас = 2 Тл, ρ = 7870 кг/м³) v_max ≈ 292 м/с, для пермендюра (В_нас = 2,43 Тл, ρ = 8100 кг/м³) v_max ≈ 326 м/с. 

Как видно, даже для такой весьма скромной по параметрам многоступенчатой гауссовки теоретически достижимы околозвуковые скорости снаряда...

Аналогичным образом, можно получить соотношение для КПД. Приведу его без вывода (заинтересованный читатель сможет повторить ход моих вычислений):

(11)

Как видно, для максимизации КПД необходимо стремиться к увеличению значения W_f ^4/3 ·γ. Оно имеет максимум при γ = 1.93, α = 2.41, β = 0, φ₁ = 0.777 φ₂ = 0.615. При таких значениях для примера, приведенного выше, железный сердечник будет ускоряться с максимальным КПД 17,1 % (что соответствует скорости 184 м/с), а пермендюровый - 20,9 % (v = 205 м/с).

Формулы (9) - (11) чрезвычайно полезны, т. к. позволяют оценить предельно достижимые ТТХ того или иного многоступенчатого ускорителя на этапе его проектирования по закладываемым параметрам, а также проверить, как их вариация влияет на итоговые свойства гауссовки.

Что можно заключить из вида этих соотношений?

Во-первых, очевидно, что ключевой характеристикой многокатушечного электромагнитного ускорителя является его калибр. При этом КПД прямо пропорционален d, а скорость снаряда  - наоборот, обратно пропорциональна (интересно, что это хорошо соответствует эмпирическому предположению η ≈ d, которое я использовал при написании предыдущих статей про свойства ускорителей различных конфигураций). Это свойство отличает многоступенчатую систему от одноступенчатой - там зависимость выходной скорости от калибра была намного слабее.

Второе: индукция насыщения материала ускоряемого тела, и значение плотности намотки a (читай - качество изготовления ускоряющих катушек) - также довольно весомые параметры.

Наконец, длина ускорительного тракта и энергоемкость ускорителя (то есть характеристики, которые в наибольшей степени поддаются изменению со стороны конструктора) являются, к сожалению,  наименее значимыми для увеличения скорости снаряда - она зависит от них лишь как кубический корень. То есть, чтобы повысить скорость в 2 раза при сохранении всех прочих параметров, нужно увеличить в 8 раз либо длину ускорителя, либо затрачиваемую энергию. Столь же малозначительным оказывается удельное сопротивление провода - отсюда следует, что иногда предлагаемая намотка катушек алюминиевым или серебряным проводником вместо обычного медного повлияет на ускорение снаряда весьма слабо. 

Всем успехов в творчестве,

Ваш Eugen.

Примечания:

1. Вычисление геометрического множителя W_f может быть упрощено, если зафиксировать какую-либо переменную, входящую в его состав (например, задаться конкретной длиной снаряда и/или ускоряющей катушки). Кроме того, его вид может быть обобщен на случай снарядов, форма которых отличается от цилиндрической. Так, для шарообразного тела можно использовать зависимости, приведенные здесь. 

2. Из обсуждения двух последних формул видно, что набор значений геометрических параметров, соответствующий предельному КПД, сильно отличается от такового для максимальной скорости - это еще раз подчеркивает, что повышение эффективности и скорости снаряда гауссовки - совершенно различные задачи.

3. К оценкам КПД по ф-ле (11) нужно относиться с осторожностью, т. к. оно получено исходя из определенных приближений, справедливых только для систем, находящихся в насыщенном состоянии ферромагнетика. В нашем случае, это значит, что формула (11) будет тем более точна, чем выше энергия ускорителя и меньше его калибр. По прикидкам, разумные значения получаются при уровнях энергий не менее нескольких десятков джоулей и калибре до 2..3 сантиметров. 

4. При использовании соотношений (9) - (11) для оценки предельных параметров реальных систем, следует помнить, что ранее мы принимали d равным как внутреннему диаметру катушек (калибру ускорителя), так и наружному диаметру снаряда (т. е. предполагался ствол с нулевой толщиной стенок). На практике, конечно, диаметр ускоряемого тела будет заметно меньше d. Как показано здесь, это не приведет к изменению его скорости, но должно снизить КПД койлгана.