Данный расчет был выполнен для проверки простого аналитического соотношения, установленного в этой публикации для силы, действующей на ферромагнитный сердечник со стороны обмотки с током. Вот эта формула:

где B_нас - индукция насыщения ферромагнетика, S - площадь сечения сердечника, перпендикулярная оси катушки,  H₂ и H₁ - напряженность поля на оси катушки в точках, соответствующих пересечению с передней и задней гранью сердечника, соответственно (в отсутствие сердечника). Это соотношение должно давать хорошую оценку для сильных полей, в которых ферромагнитный материал находится в состоянии насыщения.

Для верификации формулы я использовал симуляцию в FEMM, построив модель системы с катушкой при помощи встроенного графического редактора программы. Детали построения такой модели подробно описаны на этой страничке, здесь же стоит добавить, что для определения воздействующей на снаряд (сердечник) силы я воспользовался интегрированием при помощи функции Integrate->Force via Weighted Stress Tenzor. Для этого надо в окне анализа результатов активировать пункт меню Operate->Areas, выделить пространство, соответствующее объему сердечника (он загорится зеленым цветом), и выбрать тип рассчитываемой величины в меню Integrate (см. рис. 1).

Рис. 1. Расчет силы, действующей на сердечник, при помощи FEMM.

Моделирование проводилось для тех же 3 типов катушек, для которых ранее было рассчитано распределение полей. Их параметры приведены в табл. 1.

Таблица 1. Параметры анализируемых катушек.

В качестве снарядов использовались цилиндрические стержни из материала № 154 - это ферромагнитный материал со специальной формой кривой зависимости B(H), которая наилучшим образом соответствует экспериментальным данным различных койлганов, и, кроме того, содержит точки в области очень сильных полей, характерных для рассматриваемых устройств (данные по оригинальным материалам из библиотеки FEMM в этих областях отсутствуют). Между прочим, для установления свойств этого "модельного" металла на форуме Арсенала была проведена большая работа, ознакомиться с которой можно здесь.

Длина этих цилиндров варьировалась от 10 мм до 30 мм, координаты передней грани - от 10 мм (в нашей модели это соответствует центру обмотки) до 30 мм, а задней грани - от 20 мм (грань совпадает с торцом катушки - именно этот случай показан на рис. 1) до 40 мм. Более длинные стержни обсчитывать я не стал, т. к. в этом случае их задний торец находился бы уже слишком близко к границе области моделирования - при этом возникают опасения в справедливости использованных граничных условий.

Собственно процедура верификации формулы (1) заключается в следующем. 

Сначала для моделей, описанных в табл. 1, рассчитывается значение напряженности поля H в точках, расположенных на оси каждой катушки на расстояниях 10 , 20, 30 и 40 мм от ее центра. Затем в систему вводятся ферромагнитные сердечники и при помощи процедуры, описанной выше, определяется сила F их притяжения к обмотке. На последнем шаге по формуле (1), исходя из найденных величин напряженностей и силы, а также при известной площади сечения сердечника, рассчитывается значение индукции насыщения.

Критерием истинности соотношения (1) мог бы служить тот факт, что значение В_нас, оцененное подобным образом,  принимало бы во всех анализируемых случаях идентичное значение, близкое к 2 Тл. Действительно, как описано на соответствующей странице Форума Арсенала, кривая B(H) для материала 154 получена из предположения, что в сильных полях кривые (точнее, уже прямые)  намагничивания воздуха и этого ферромагнетика должны идти параллельно со сдвигом на 2 Тесла (см. рис. 2). Таким образом, получив эту же величину при помощи оценочного соотношения (1), мы подтвердили бы его справедливость.

Рис. 2. Кривая намагничивания материала №154  (взято с Форума Арсенала).

_{Посмотрим, что получается  в реальности.}

На рис. 3, 4 и 5 приведены зависимости оценочного значения В_нас, полученного описанным способом, от разницы напряженностей на передней и задней гранях снаряда (dH = H₂-H₁), от среднего значения напряженности  (H_mean = (H₂+H₁)/2) на торцах, и от напряженности на передней грани (H₂), соответственно. 

	Рис. 3. Зависимость Внас (dH) расчетной индукции насыщения материала сердечника от перепада напряженности поля на его передней и задней гранях. Зеленые точки - "тонкая" катушка, синие - "средняя", красные - "толстая" (см. Табл. 1).
	Рис. 4. Зависимость Внас (Hmean) расчетной индукции насыщения материала сердечника  от средней напряженности поля на его передней и задней гранях. Зеленые точки - "тонкая" катушка, синие - "средняя", красные - "толстая" (см. Табл. 1).
	Рис. 5. Зависимость Внас (H2) расчетной индукции насыщения материала сердечника  от напряженности поля на его передней грани. Зеленые точки - "тонкая" катушка, синие - "средняя", красные - "толстая" (см. Табл. 1).

Четко видно, что при сильных полях все значения группируются около ожидаемой величины индукции 2 Тл независимо от способа построения графика. 

Что же касается "хвостов" зависимостей при малых полях (они соответствуют совершенно "нефизичным" значениям B_нас менее 0,5 Тл), то здесь можно заметить следующее. Чем ниже напряженность поля, тем слабее воздействующая на снаряд сила. Так, точка с минимальным расчетным значением B_нас ≈ 0,26 Тл (она получается для "тонкой" обмотки и снаряда длиной 10 мм, расположенного между 20 и 30 мм от центра катушки) соответствует втягивающей силе всего лишь 1,9 Ньютона. Если предположить, что эта сила действует на железный снаряд с указанными параметрами на протяжении длины разгона 0,5 м (это, вероятно, наибольшая длина для многоступенчатого портативного ускорителя, т. к. помимо катушек на его стволе должны размещаться какие-то датчики и прочие конструктивные элементы), то он сможет приобрести скорость всего лишь..17,5 м/с. Ясно, что такой случай нас совершенно не устраивает  - от подобного койлгана разумно ожидать скоростей хотя бы 80..100 м/с, а такие скорости как раз и требуют полей свыше 500 кА/м, при которых все значения на графиках уже "собираются" к тем же самым 2 Тл.

Таким образом, для катушечных ускорителей ферромагнитных тел (в интересующих нас, как гауссостроителей,  диапазонах полей) формулу (1) можно считать доказанной.