Здесь мы рассмотрим такой интересный вопрос, как распределение напряженности магнитного поля, возникающего в пространстве вблизи обмотки с током.

Сразу ограничимся наиболее практичным случаем катушки прямоугольного сечения (см. рис. 1), и изучим форму поля на ее оси. Эти расчеты приводятся в большом количестве публикаций. Воспользуемся, например, [1].

Магнитное поле многослойного соленоида длиной 2b, состоящего из N₁ слоев по N₂ витков в каждом слое, и имеющего внутренний радиус a₁ и внешний радиус a₂, эквивалентно сумме полей бесконечного числа круговых токов , каждый из которых равен

(1)

где dx - элемент длины, а dr - элемент толщины соленоида.

Напряженность магнитного поля, создаваемого круговым током в точке А (см. рис. 1) равна

(2)

где r - радиус кольцевого тока, а x - расстояние кольцевого тока от точки А.

Суммируя вклад от каждого витка по толщине и длине катушки, получим для точки с координатой z от центра соленоида следующее выражение:

(3)

Подобным же образом можно получить поле для катушки любой формы.

Поскольку все элементы тока каждого витка симметричны относительно оси соленоида, то поле на этой оси не имеет радиальных составляющих. Иными словами, кусочек железа, помещенный точно на оси катушки с током, будет втягиваться внутрь катушки исключительно вдоль этой оси. Иная ситуация будет для сердечника, который занимает конечное пространство внутри обмотки - тогда его части, находящиеся ближе к одному из краев обмотки, будут испытывать воздействие в этом направлении. Подробнее данный вопрос мы рассмотрим ближе к концу статьи.

На сайте Д.Пола формула (3) дана в частном случае точки в центре соленоида и немного в другом виде:

(4)

где N - суммарное количество витков в катушке, α = a₂ / a₁, β = b / a₁, а функция F равна

Эти соотношения позволяют вычислить поле в любой точке оси катушки при известном токе, который через нее протекает. Но такой результат для нас не очень практичен.

Дело тут вот в чем.

Вернемся к рис. 1 и представим, что мы имеем дело с единичным витком и пытаемся нарастить поле в его центре, последовательно добавляя витки к обмотке. Сделать это можно, либо расположив следующий виток рядом с предыдущим (тогда увеличится длина катушки), либо намотав его поверх предыдущего витка (тогда вырастает диаметр обмотки). В обеих случаях поле в центре первого витка действительно вырастет, но не в 2 раза, а немного меньше (т. к. в первом случае следующий виток немного отдаляется от интересующей нас точки в осевом направлении, а во втором  - имеет чуть больший радиус, см. формулу (2)). В то же время, сопротивление обмотки увеличивается пропорционально суммарной длине провода в витках. Получается, что если мы зафиксируем не ток катушки, а мощность источника, от которого она запитана, то при увеличении количества витков (т.е. габаритов обмотки) свыше определенного предела поле начнет уменьшаться, т. к. новые витки расположены слишком далеко от точки, в которой мы измеряем поле, а тепловая мощность в них по-прежнему рассеивается. Легко сообразить, что это именно тот случай, который мы имеем на практике - ведь калибр провода обмотки (а следовательно и количество витков в ней) может меняться на наше усмотрение, а вот мощность источника (читай - емкость и напряжение конденсаторов нашего койлгана в сочетании со скоростью снаряда в конкретной катушке) является исходным параметром системы.

В [2] вводится понятие форм-фактора мощности G:

(5)

При этом обозначения для α и β совпадают с ранее введенными в комментариях к ф-ле (4),  а поле в центре соленоида выражается через G следующим образом:

где W - мощность источника питания, ρ - удельное сопротивление провода, λ - коэффициент заполнения обмотки (т. е. доля объема катушки, занятого проводящим материалом).

Вид функции G в зависимости от геометрических пропорций катушки показан на рис. 2.

Как видно, при фиксированной мощности источника наиболее сильное поле генерируется в центре катушки, длина которой равна двум внутренним диаметрам, а наружный диаметр - трем внутренним диаметрам. Это утверждение верно для катушки, намотанной любым проводом (даже одновитковой), и любых абсолютных габаритов  - важно их только отношение, соответствующее максимальному значению форм-фактора. Катушка, форма которой удовлетворяет этим соотношениям, в гауссостроительстве называется "идеальной". Однако, по некоторым причинам, которые будут рассмотрены в следующих статьях этого раздела, обмотка с "идеальными" пропорциями используется на практике довольно редко.

Посмотрим теперь, как визуально выглядит поле на оси катушки. Для этого выберем систему с параметрами, близкими к реальным катушкам койлганов: длина катушки 20 мм, внутренний диаметр (калибр) 10 мм, наружный - 20 мм, намотка проводом AWG24 (это соответствует диаметру провода по меди около 0,51 мм) с количеством витков 324 (9 слоев по 36 витков, что соответствует расстоянию между соседними витками 22 мкм, т. е. намотка довольно плотная, "виток к витку"). При напряжении источника питания 131 В через такую обмотку будет течь постоянный ток ровно 100 А - именно такие значения я выбрал для моделирования. Таким образом, рассматривается гауссовка средней мощности. Профиль напряженности поля на оси такой обмотки показан на рис. 3. Здесь красной кривой обозначен расчет по ф-ле (3), а черными точками - результат моделирования в программе FEMM. Как видно, совпадение между аналитическим расчетом и моделью очень хорошее.

Рис. 3. Напряженность поля на оси катушки. Отчет ведется от точки, отстоящей на 30 мм от центра катушки длиной 20 мм. Соответственно, на дистанции 20 мм от начала координат расположен край обмотки, на расстоянии 30 мм - ее центр.

Что можно сказать, глядя на этот график?

Во-первых, напряженность поля в наших устройствах очень большая - в данном конкретном случае она достигает 1,3 миллиона Ампер/метр, что соответствует индукции поля В в воздухе более 1,6 Тл. Это вполне на уровне самых мощных лабораторных установок (правда, там речь чаще идет о постоянных полях, у нас же такие значения достигаются лишь в импульсе - предельный постоянный ток для выбранного провода составляет всего 5 Ампер, при 100 А он перегорит менее чем за секунду). Помимо прочего, эти результаты говорят о том, что использование в мощных койлганах дополнительного магнитопровода вряд ли целесообразно, т. к. при подобных полях ферромагнетики уже почти теряют свои магнитные свойства (такой же вывод я получил здесь при помощи численного моделирования некоторых систем с магнитопроводом).

Во-вторых, видно, что поле быстро спадает при удалении от катушки - на расстоянии от края обмотки, равном ее внутреннему диаметру, напряженность составляет уже всего около 10 % от максимальной, а на удвоенной дистанции уже практически равна нулю. Данный факт демонстрирует, что размер области пространства, в которой происходит силовое взаимодействия катушки и ферромагнетика, весьма ограничен. Подробнее об этом мы поговорим в одной из следующих статей, посвященных  оптимальным пропорциям ускоряющих обмоток в койлгане.

Вернемся теперь к интересному вопросу, затронутому в начале этой публикации, а именно: чему равно поле цилиндрической обмотки в произвольной точке, не лежащей на ее оси? Нас, как гауссостроителей,  в первую очередь интересует пространство, заключенное внутри цилиндрической области, формируемой внутренней поверхностью обмотки - именно там находится ствол, в котором движется ускоряемый койлганом ферромагнитный снаряд (см. рис. 4). Интуитивно ясно, что для снаряда, находящегося внутри обмотки, при отдалении от осевой линии абсолютное значение вектора напряженности будет нарастать, т.к. мы будем находиться ближе к одному из краев катушки, которое эту напряженность и формирует своими токами. С другой стороны, при удалении от оси симметрии поле должно приобретать радиальную составляющую, которая нас вообще говоря не очень интересует и даже вредна, т.к. вместо ускорения снаряда в продольном (осевом) направлении этот вектор будет лишь дестабилизировать его движение. 

Рис. 4. Схематичное изображение векторов магнитной индукции в стволе койлгана на его оси и в точке, расположенной ближе к внутренней поверхности обмотки. Для второго вектора показаны аксиальная (Ba от англ "axis" - ось) и радиальная (Br от "radial") составляющая.  

Точное решение для формы поля в произвольной точке имеет гораздо более сложный вид, чем ф-ла (3) и дается т. наз. "эллиптическими" интегралами - оно не выражается через аналитические функции и может быть найдено в специальной литературе. Для наших иллюстративных целей я воспользовался  моделированием в FEMM. При этом рассматривалась та же система, поле для которой нарисовано на рис. 3, при том же самом токе 100 А (см. рис. 5). Здесь и далее для удобства будет изображаться не напряженность поля Н, имеющая величины в сотни тысяч и миллионы А/м, а индукция В.

Рис. 5. График модуля вектора магнитной индукции и силовых линий магнитного поля, полученный моделированием в FEMM.

Как обычно для систем с осевой симметрией, FEMM моделирует лишь одну полуплоскость, т.е. половинку сечения нашей модели - вторая получается отражением рисунка относительно начала координат (левая вертикальная граница модели).  На графике видны дополнительные точки, которые были введены в модель для построения профиля поля вдоль оси соленоида (они формируют линии на расстоянии 0, 1, 2, 3, 4 и 5 мм вдоль оси, т. е. первая линия совпадает с осью катушки, а последняя - с ее внутренней поверхностью), а также радиальных профилей поля (в центре обмотки, в плоскости совпадающей с торцом катушки на расстоянии 10 мм от центра, далее на расстоянии 20 и 30 мм от центра). Вот что получилось в результате (см. рис. 6, 7). 

Рис. 6. Осевая и радиальная составляющие вектора магнитной индукции вдоль линий, расположенных на дистанции от 1 до 5 мм от оси катушки. Черным цветом показана также индукция на самой оси (для ее радиальная составляющая равна нулю, и модуль вектора B целиком равен Ba).

Рис. 7. Радиальные распределения модуля вектора магнитной индукции (|B|) и его продольной составляющей Ba в плоскостях, совпадающих с центром катушки (cntr), ее торцом (10 mm), а также на расстоянии 20 мм и 30 мм от центра.

Какие выводы можно сделать из этих иллюстраций?

Самый главный такой: осевая составляющая магнитного поля довольно мало меняется при отклонении от центра ствола (катушки). Так, из рис. 6 видно, что эти отклонения не превышают 10 % от величины индукции на оси (|B| (0)). Наибольшее отклонение, как и следовало ожидать, имеет место вблизи внутренней стенки катушки (радиальная координата 5 мм) - там наиболее сильна радиальная составляющая вектора B, которая принимает максимальное значение в плоскости, совпадающей с торцом обмотки (продольная координата 20 мм).

Отсюда следует, что для различных оценочных расчетов ( в т. ч. действующих на снаряд сил в соответствие с формулами предыдущей публикации) можно не рассчитывать поле по всему сечению снаряда, а с приемлемой точностью заменять его напряженностью поля на оси. Последняя величина может быть просто определена по ф-лам (3) и (4).

Можно еще заметить интересную особенность поведения вектора магнитной индукции (или напряженности, в данном случае это неважно): при удалении от оси соленоида он уменьшается, если речь идет о точках, лежащих вне катушки, но увеличивается, если рассматривать область внутри обмотки. Впрочем, как уже было сказано, эти вариации незначительны.

В следующей публикации мы рассмотрим такой интересный вопрос, как определение формы катушки для максимально эффективного ускорения снаряда.

Литература:

[1]. Матюк В.Ф., "Влияние размеров соленоида прямоугольного сечения на распределение поля вдоль его оси", "Неразрушающий контроль и диагностика", № 3, 2014 г., стр. 34-45.

[2]. Карасик В. Р., «Физика и техника сильных магнитных полей», М., "Наука" 1964 г., 348 стр.

Дополнение от 28.08.2020: процедура расчета распределения полей в FEMM наряду с результатами моделирования для разных типов обмоток выложена на этой страничке.