Существенным препятствием для построения эффективных многоступенчатых гауссовок, как известно, является высокая трудоемкость этого процесса. Один из путей хотя бы частичного решения этой проблемы -   создание систем, в которых все параметры катушек и электроники каждой ступени одинаковы - это позволяет унифицировать и тем самым значительно ускорить сборку ускоряющего тракта койлгана. Как пример, можно привести эту и эту конструкции.

Однако, у такого подхода есть и очевидный минус, который заключается в следующем. 

Поскольку снаряд по мере своего движения через ступени разгоняется, то геометрия каждой их них (как и диаметр намоточного провода), вообще говоря, должна подбираться индивидуально для достижения максимального КПД. Процедура этого подбора обычно является необходимым (и тоже довольно трудоемким) этапом построения любой многоступенчатой системы  и осуществляется, например, с помощью программы FEMM. В результате, как правило, получается конструкция, в которой катушки имеют уменьшающийся к концу длины разгона диаметр. Как пример, можно привести 6-ступенчатую гауссовку ЕМ-3 ("Электрический лук"). На примере этой же системы видно, что, подбирая емкости конденсаторов, питающих отдельные ступени, можно сохранить пиковый ток в каждой из них приблизительно одинаковым - это позволяет использовать одинаковые силовые ключи, но от вариации геометрии катушек все равно никуда не деться.

Если же попытаться сэкономить время и использовать унифицированные обмотки, то эффективность ускорения должна значительно снизиться. 

В том же случае, когда используется общая (и, следовательно, одинаковая) питающая емкость для всех ступеней, ситуация должна выглядеть еще хуже, так как конденсатор будет пытаться поддерживать во всех ступенях одинаковые формы тока, что далеко от оптимальных условий ускорения снаряда.  

Однако схема с общей питающей емкостью и унифицированными ускоряющими ступенями выглядит так соблазнительно с точки зрения простоты и быстроты реализации, что я попытался прикинуть границы ее применимости, не прибегая к сложным расчетам и численному моделированию. Ниже приведен метод, которым я для этого воспользовался. 

1. Общие положения.

Для начала, вспомним, как выглядит зависимость тока от времени в RLC-контуре:

Рис. 1. Форма тока в RLC-контуре койлгана с запираемым силовым ключём. Отмечены моменты максимума тока и закрывания ключа.

Как видно, ток нарастает до максимума (достигаемого в момент времени t_max), затем начинает медленно спадать. В тот момент, когда снаряд полностью втянется в катушку (обозначим его t₀), ток  в ней необходимо погасить, чтобы избежать эффекта "обратного втягивания" - это реализуется закрытием соответствующего силового ключа, после чего ток уменьшается до нуля по различным законам в зависимости от использованной электрической схемы демпфирования индуктивной ЭДС.

Примечания: 1) На рис. 1 показан пример экспоненциального снижения тока, которое соответствует простейшей демпфирующей цепочке диод+резистор (полный обзор используемых в койлганах схем коммутации катушек и их особенностей я постарался составить здесь). Поскольку форма тока после закрытия ключа зависит от индивидуальных свойств каждой системы, то анализировать ее в дальнейшем рассмотрении мы не будем.

                2) Как показывают расчеты и практика, наиболее оптимальной в общем случае является конфигурация гауссовки, в которой длина катушки равна длине снаряда. Именно такой случай по умолчанию подразумевается в дальнейшем рассмотрении.

Если считать, что длина катушки и ее внутренний диаметр (калибр) фиксированы, а момент открытия (t = 0) и закрытия (t = t₀) ключа совпадают по времени, соответственно, с вхождением переднего торца снаряда в катушку, и его полным втягиванием внутрь нее,  то подбор оптимальных характеристик системы сводится к вариации наружного диаметра обмотки, и калибра обмоточного провода. Как показано здесь, эти геометрические параметры также полностью определяют форму токового импульса (при условии, что исходное напряжение на конденсаторе и его емкость, то есть запасенная энергия системы, также заданы).

Далее, вспомним, что действующая на снаряд ускоряющая сила пропорциональна напряженности магнитного поля, то  есть ампер-виткам: Н ~ n·i (где n - количество витков на единицу длины). Максимальным КПД будет обладать такой койлган, который обеспечивает наибольшее значение H для каждого положения снаряда при минимальных омических потерях в обмотке.

Таким образом, процесс оптимизации этой системы можно представить как подбор геометрических характеристик катушки, обеспечивающих оптимальную форму импульса тока для получения максимального соответствия профиля действующей силы текущему положению снаряда.

2. Постановка задачи.

Изложенные в предыдущем пункте рассуждения, в целом, очевидны и касаются общего случая электромагнитного ускорителя, в котором присутствует возможность вариации геометрии ускоряющей катушки и калибра провода (как это и делается гауссостроителями в подавляющем большинстве случаев).

Переходя же к нашему случаю "унифицированного" многоступенчатого койлгана, можно заметить, что оптимизация его сводится к выбору такой (единой) геометрии катушки, которая обеспечивает максимальные характеристики на протяжении всей дистанции разгона, т. е. во всем диапазоне скоростей снаряда.  

Исходя из каких соображений ее выбирать?

Посмотрим снова на рис. 1. Ясно, что если все характеристики RLC-контура заданы, то форма импульса (в том числе и t_max ) фиксирована. Для разных ступеней меняется лишь момент отключения тока в катушке t₀, что связано с непрерывным ускорением снаряда. Эта ситуация проиллюстрирована на рис. 2, где в явном виде показаны также осциллограммы тока в каждой ступени для случая очень большой питающей емкости, что близко к нашему случаю. Как показано в этой статье, здесь свободное затухание тока носит монотонный характер без колебаний (такие контуры называют еще "передемпфированными").

Рис. 2. Эскиз многоступенчатого ускорителя с одинаковыми катушками.

Зададимся теперь вопросом: в каких пределах может находиться длительность импульса  тока относительно его максимума для сохранения приемлемого КПД ускорения?

Можно выделить 2 крайних случая (см. рис. 3):

- снаряд движется так быстро, что ток не успевает достигнуть максимума (t₀ << t_max). В этом случае фронт тока в катушке почти линеен с тангенсом угла наклона ~U/L (U-напряжение на емкости, L - индуктивность)

- снаряд движется так медленно, что ток успевает преодолеть свой максимум задолго до полного втягивания снаряда в катушку, и к моменту t₀ находится на стадии свободного затухания с постоянной времени ~R·C.

Рис. 3. Осциллограммы тока в катушке электромагнитного ускорителя для 2 предельных случаев: очень быстрого (слева) и очень медленного (справа) движения снаряда. На эскизе справа пунктирной линией изображен график тока для более оптимальной катушки. 

Очевидно, что в обоих случаях эффективность ускорения будет минимальна.

Попробуем доказать это утверждение, что называется, "на пальцах", без строгих теоретических выкладок.

В первом случае это понятно из того простого факта, что при дальнейшем повышении тока из обмотки можно было бы "выжать" большее поле, и, следовательно, ускорение для снаряда, но мы просто "не даем ей такого шанса". То есть, катушка используется неоптимально.

Для второго случая можно представить себе аналогичную катушку большего диаметра (с большим количеством витков) , намотанную чуть более толстым проводом таким образом, чтобы момент максимума тока располагался ближе к моменту отключения (на рисунке такой гипотетический случай выделен пунктирной линией). Видно, что затраченный за время работы ступени заряд из емкости (равный площади под кривой зависимости i(t)) для второй катушки такой же, в то время как ускоряющая сила больше (т. к. она содержит больше ампер-витков при том же токе). То есть, более "толстая" катушка была бы эффективнее.

Таким образом, следует ожидать, что наиболее оптимальная конфигурация катушки будет такая, при которой ток успевает достигнуть максимума, но еще не слишком сильно уменьшиться к моменту своего отключения.

Эти умозрительные рассуждения подтверждаются моделированием в FEMM, которое показывает, что оптимальный диапазон значений для  t₀ составляет 

t_max<t₀<4·t_max                                         (1) 

Итак, наша задача оптимизации свелась к тому, чтобы найти такую форму катушки, которая обеспечивает выполнение соотношения (1) в том диапазоне скоростей снаряда v, для которого проектируется наш ускоритель.

Если же форма катушки задана, то можно сформулировать и обратную задачу: мы хотим прикинуть предельную скорость снаряда, вплоть до которой будет сохраняться более-менее приемлемый КПД ускорения (как следует из соотношения (1),  она будет равна v_max ≈ l/t₀, где l - длина катушки). Именно этот вопрос и представляет для нас наибольший интерес.

3. Решение.

Для начала выразим t_max через известные параметры системы. Как показано здесь, для сильно передемпфированного контура справедливо соотношение

                                                             (2)

где

- емкостная постоянная цепи,

                                                                                           - индуктивная постоянная,

- фактор передемпфированности,

R,C, L - сопротивление, емкость и индуктивность цепи соответственно.

Величина индуктивной постоянной, как показано здесь, прямо выражается через геометрические характеристики системы следующим образом:

                                                (3)

где a - плотность намотки (т. е. отношение диаметра провода без изоляции к диаметру провода в изоляции, обычно получается a ≈ 0,85),

     d и D - внутренний и наружный диаметр катушки,  p - удельное сопротивление провода (для меди 1,75·10^-6 Ом·см).

Для нахождения коэффициента k нужно как-то выразить емкостную постоянную 

Сделать это можно следующим образом. Как известно, емкость может быть выражена через запасенную энергию и напряжение конденсатора как C = 2E/U₀². При подключении койлгана к одной общей емкости вся запасенная в ней энергия в процессе выстрела потрачена быть не может, т. к. иначе последние ступени ускорителя будут питаться от почти "пустого" конденсатора, и разгонять снаряд не смогут. Поэтому на конденсаторе должно сохраняться некое остаточное напряжение, величину которого разумно взять, например, на уровне U_f ≈ 3/4 U₀ - в этом случае будет тратится приблизительно половина запасенной энергии. То есть, общая емкость должна быть С ≈ 4E_w/U₀² (где E_w - затрачиваемая на выстрел энергия). Тогда получается, что емкостная постоянная RC/2 ≈ 2E_w(R/U₀²).

Как нетрудно заметить, дробь, стоящая в скобках, обратна мощности омических потерь. В нашем случае ток в ускорителе на протяжении почти всего времени ограничен активным сопротивлением цепи, а КПД самого процесса ускорения очень невелико, поэтому можно с хорошей точностью приравнять омическую мощность общей мощности, потребляемой от питающей емкости P_w, и записать 

         (4)

где t_acc - общее время разгона снаряда в ускорителе.

Зафиксируем этот интересный момент: в передемпфированном многоступенчатом койлгане с общим питающим конденсатором и одинаковыми катушками, емкостная постоянная времени каждой ступени равна удвоенной длительности ускорения снаряда. 

Выражение (4) можно модифицировать и далее - для этого надо вспомнить, что при равноускоренном движении (а для гауссовки, работающей на постоянном токе, это будет близко к правде) средняя скорость равна половине максимальной (выходной), и тогда 

              (5)

где l_s - общая длина ускорителя.

Наконец, величину l_s можно оценить, если вспомнить выражение (1). Их него следует, что для сохранения заметной эффективности ускорения, время движения снаряда через первую и последнюю ступень (а, следовательно, и его скорость) не должно отличаться более чем в 4 раза. Отсюда, опять-таки имея в виду равноускоренное движение, получаем, что количество ступеней ускорителя не может быть больше 4² = 16. Если их будет больше, то эффективность ускорения в первых из них будет невелика из-за слабого воздействия на снаряд (по сравнению с потенциально достижимым при более оптимальной форме обмотки, см. правый график на рис. 3), либо последние ступени будут ускорять снаряд очень незначительно (т. к. ток в них не будет успевать вырасти до заметного значения). Таким образом, l_s ≈ 16·l, и окончательная формула для емкостной постоянной приобретает вид

                          (6)

Итак, нам удалось выразить емкостную постоянную цепи через длину индивидуальной катушки и максимальную скорость снаряда.

Примечание: нетрудно заметить, что соотношения (4)-(6) выведены исходя из довольно произвольных предположений, и оценки входящих в них величин могут отличаться на десятки процентов в зависимости от конкретных параметров того или иного ускорителя. Однако, вернувшись к формуле (2), можно обратить внимание, что значение емкостной постоянной времени (входящее как знаменатель в коэффициент к) находится под знаком логарифма, который, как известно, довольно слабо зависит от своего аргумента (по сравнению, например, с линейной зависимостью). Поэтому все упомянутые погрешности не должны существенным образом сказаться на точности дальнейших оценок. 

Комбинируя выражения (1), (2) , (3) и (6), получим следующее соотношение для v_max:

                 (7)

Исходя из него, можно оценить значение максимальной скорости снаряда при заданной геометрии катушки.

Как видно, оцениваемая скорость стоит как в левой части равенства, так и справа - под знаком логарифма. В математике такие уравнения называются "трансцендентными" - они не имеют точного алгебраического выражения, и обычно решаются графическим методом.

На рис. 4 показан пример решения уравнения (7) в Mathcad для системы со следующими параметрами: D = 1,2 см, d = 1 см, l = 3 см - значение v_max дается точкой пересечения двух зависимостей. Другие параметры такие: a = 0,85, удельное сопротивление 1,75·10^-6 Ом·см (что соответствует проводу из меди). Уравнение (7) здесь задано с учетом размерности всех входящих в него величин.

Рис. 4. Пример оценки максимальной скорости снаряда при помощи построения графиков в MathCad.

Таблицы с решениями уравнения (7) относительно v_max для различных калибров койлгана d сведены на рис. 5. При этом я ограничился диапазоном длин катушек от l = d до l = 4·d (более длинные катушки, согласно моделированию в FEMM и множеству экспериментальных данных, дают крайне низкий КПД ускорения), и диапазоном наружных диаметров от D = 1,1·d до D = 2·d.

d=0,3 см	d=0,5 см
d=0,8 см	d=1,2 см
	Рис. 5. Табулированные значения максимально достижимых скоростей снаряда согласно уравнению (7) для различных внутренних диаметров катушки d.
d=2,0 см

Цветовое выделение ячеек будет пояснено ниже.

Как видно, теоретический диапазон v_max простирается от единиц до сотен метров в секунду, причем максимальные значения достигаются для ускорителей наименьших калибров.

Здесь следует сделать важную оговорку о том, что эти величины оценены чисто теоретическим образом исходя только из габаритов системы. Если ускоритель имеет геометрические параметры, указанные в таблицах рис. 5, то это само по себе вовсе не означает, что обязательно  будут достигнуты соответствующие значения  v_max - они просто показывают те теоретические границы, к которым может приблизиться скорость снаряда. Чтобы получить более реалистичные оценки, необходимо использовать моделирование конкретной системы.

4. Ограничения.

При изучении полученных результатов может возникнуть закономерный вопрос - почему такие большие значения скоростей снаряда  не реализуются на практике?  Действительно, построена масса ускорителей в диапазоне калибров 5...8 мм, но ни один из них на настоящий момент не превысил отметку 130 м/с по скорости (при том, что почти  во всех из них используются не одинаковые катушки, а адаптированные под каждую конкретную ступень). На этот вопрос легко ответить, если рассмотреть дополнительные ограничения, накладываемые на конструкцию портативного ускорителя законами физики и уровнем развития современной элементной базы. Для примера возьмем два из них.

1 ) Нагрев ускоряющих катушек.

Поскольку нагрев обмотки при прохождении мощного импульса тока происходит за очень малый промежуток времени, то можно считать, что теплообмен с окружающей средой происходить не успевает (в физике такие процессы называют "адиабатическими"). В этом случае конечная температура обратно пропорциональна массе катушки, и можно ожидать, что сильнее всего будут нагреваться тонкие короткие катушки малых диаметров. 

Для катушек, параметры которых приведены на рис. 5, был проведен расчет максимальной температуры нагрева, исходя из следующих параметров: средняя теплоемкость меди 0,4 Дж/(г ·°С), КПД ускорителя пропорционален калибру и равен ≈ 8 % для диаметра d = 8 мм (эти данные хорошо совпадают с результатами моделирования в FEMM). Далее, считалось, что тепловой предел превышен, если итоговая температура была выше 300°С - именно при такой температуре теряют свойства термостойкие изоляционные лаки, используемые в электротехнике. Поскольку при выстреле в обмотке развиваются высокие механические напряжения, то следует ожидать, что в этом случае в катушке просто произойдет короткое замыкание. Более того, для наиболее неблагоприятных случаев (это правые верхние углы таблиц) оказалось, что намного превышается даже температура плавления меди.

В итоге для каждого рассматриваемого калибра поле допуска по геометрическим параметрам сужается до некоторого диапазона, который на рис. 5 выделен зеленым цветом.

Примечание: расчет максимальной температуры нагрева производился для первой ступени ускорения. Легко показать, что при равноускоренном движении тела через 16 одинаковых по длине катушек, через которые пропускается ток одинаковой силы, в первой из них выделится энергия, приблизительно равная E_w/6,67 (а в остальных выделенная энергия спадает обратно пропорционально квадратному корню из номера катушки). Начальная температура провода полагалась равной 25 °С.

2) Ограничение по массе накопительной емкости.

Современные электролитические конденсаторы имеют некоторый предел по запасаемой энергии на единицу массы, который в зависимости от типономинала может иметь разное значение, но в среднем составляет около 3 граммов на 1 Джоуль. Исходя из этого, можно определить максимальную энергию расходуемую на выстрел в размере ≈ 1000 Дж (это будет соответствовать суммарной накопленной энергии около 2 кДж и весу конденсаторов около 6 кг, что, очевидно, близко к пределу для портативной системы). Сопоставив эту цифру с энергией снаряда, соответствующей теоретическим значениям v_max из рис. 5 с учетом априорной величины КПД для каждого калибра, указанной выше, можно получить диапазон значений скоростей, при которых энергоемкость системы не превышает установленный лимит. Очевидно, что выход на этот лимит будет достигаться, прежде всего, для длинных тяжелых снарядов, имеющих максимальную скорость.

Такие "запредельные" значения отмечены на рис. 5 красным выделением. Для них теоретический предел по v_max достижим только в стационарных ускорителях (если это не противоречит предыдущему пункту о нагреве катушек).

Вообще, можно заметить, что оба рассмотренных лимита работают в одном направлении, ограничивая скорость снаряда в ускорителях с тонкими длинными обмотками. При этом "тепловое ограничение" играет существенную роль только для малых калибров. При диаметре 8 мм границы значений скоростей, допустимых двумя вышеозначенными явлениями, совпадают,  а при диаметрах 12 и 20 мм "зеленая зона" накрывает все таблицы целиком, и значение имеет только "весовое" ограничение. 

Подобным же образом могут быть рассмотрены и другие лимитирующие факторы (например, суммарный вес ускоряющих катушек).

5. Выводы и обсуждение результатов.

По результатам изучения результатов на рис. 5, можно сделать следующие выводы:

1) Исходя из геометрических параметров, в портативных электромагнитных ускорителях с одинаковыми катушками теоретически достижимы скорости порядка 100...130 м/с для калибров менее 8 мм. При этом наиболее "скоростными" оказываются снаряды диаметром ок. 5 мм.

2) Препятствием на пути к достижению более высоких скоростей для меньших калибров является перегрев катушек, для более крупных калибров - ограничение по массе конденсаторной батареи, накапливающей энергию для выстрела. При этом для крупных калибров (более 20 мм) скорость более 70 м/с не достигается просто исходя из геометрических свойств ускоряющих катушек (даже при снятии "весового" ограничения).

3) v_max падает по мере увеличения толщины и уменьшения длины катушки. При этом более критичной оказывается именно толщина - при наращивании наружного диаметра катушки от 1,1·d до 2·d  скорость падает на порядок, и только в 3 раза - при увеличении относительной длины от d до 4·d.

Легко видеть, что с точки зрения достижения высоких скоростей наиболее заманчивыми являются койлганы малого калибра. Они тем более привлекательны, если вспомнить, что в портативной системе нас ограничивает не только масса, но и габариты, а ведь 16 ступеней гауссовки калибром 12 мм с соотношением l/d = 4 будут иметь длину около 80 ...90 см (с учетом места, необходимого для размещения датчиков и прочих элементов конструкции ускорителя) - это уже многовато. Для койлгана калибром 3 мм с такими же параметрами длина будет только 20..30 см.

Из первой таблицы рис. 5 видно, что в таких ускорителях теоретически достижимы даже сверхзвуковые скорости снаряда. Для преодоления ограничения, связанного с перегревом катушек, можно использовать предварительное охлаждение обмоток жидким азотом или элементами Пельтье - такой способ уже давно предлагался разными авторами (правда, применительно к индукционным ускорителям). В этом случае КПД ускорителя должно повыситься как из-за снижения активного сопротивления проводов, так и за счет роста скорости, как показано здесь.

Что же касается крупнокалиберных (более 10 мм) гауссовок с одинаковыми катушками, то полученные результаты позволяют уверенно констатировать, что на современном уровне развития элементной базы силовой электроники скорости снаряда более 100 м/с в них недостижимы (по-крайней мере, без использования каких-то специальных ухищрений вроде рекуперации энергии).

Всем успехов в творчестве, 

Ваш Eugen.