Главная » Статьи » Теоретические статьи » Математика coilgun

Максимальная скорость снаряда в портативном катушечном ускорителе ферромагнитных тел с тиристорной коммутацией

В последнее время появляется все больше конструкций многоступенчатых гауссовок, построенных по простейшему принципу тиристорной коммутации (т.е. по схеме катушка + тиристор + конденсатор в каждой ступени). При этом за счет большой емкости конденсаторов они получаются довольно мощные (например, этот койлган впервые в Рунете показал скорость более 100 м/с), а использование современных способов обработки материалов дает возможность получать достойный внешний вид и эргономику.

Наряду с выражением необходимого респекта авторам, можно, конечно, высказать некоторое сожаление о том, что  гауссостроительство эволюционирует по самому примитивному пути - наращивание размера конденсаторов без попыток, например, как-либо модернизировать схему коммутации (обзор возможных конструкций многоступенчатых ускорителей приведен мной здесь). Понятно, что такой способ самый простой с точки зрения трудозатрат (знай себе, ставь все новые ступени и добавляй емкости), но ясно также, что он не позволяет использовать все возможности, заложенные в принципе электромагнитного ускорения. 

В данной статье я попробую проанализировать некоторые ограничения, свойственные тиристорным койлганам, и влияние, которое они оказывают на главный целевой параметр гауссовок - скорость снаряда. Способ анализа будет основан на связи геометрии ускоряющих катушек с формой импульса ускоряющего тока - в полной аналогии с методом, примененным в моей предыдущей статье для анализа ускорителей с одинаковыми обмотками всех ступеней.

 

1. Общие положения.

1.1. Оптимальная форма тока для ускорителя Гаусса.

Как известно, форма тока в цепи койлгана с незапираемым ключом имеет вид одиночного затухающего импульса (см. рис. 1(а)). На графике обозначен момент времени, когда ток достигает максимума (tmax), а также момент t0, когда геометрический центр снаряда преодолевает середину катушки (так называемую "нулевую точку" - НТ) - с этого мгновения ток в катушке уже не ускоряет, а, наоборот, тормозит снаряд (в англоязычной терминологии этот эффект называется "suckback" - обратное втягивание). В отличие от системы с запираемым ключом, в данном случае отсутствует возможность отключения тока в заданный момент времени (или, что то же самое, при определенном положении снаряда), поэтому к моменту t0 ток уже должен преодолеть свой максимум и уменьшиться достаточно сильно для того, чтобы эффект обратного втягивания не привел к заметному торможению. С другой стороны, нам известно (см. рис. 1(б)), что  максимум действующей на снаряд силы лежит вблизи НТ, поэтому в то время, когда снаряд проходит соответствующую область, ток в катушке все-таки должен сохранять существенную величину.

 

(а) (б)

Рис. 1. Зависимость тока от времени в контуре койлгана (слева) и типовая зависимость ускоряющей силы от положения снаряда в катушке (справа, взято отсюда).

Таким образом, можно рассмотреть 2 гипотетических случая, которые могут иметь место (на рисунке 1(а) они выделены пунктиром). В первом из них импульс тока слишком затянут (его максимум сдвинут "вправо" почти к моменту достижения снарядом НТ) - при этом метаемое тело сначала получает хорошее ускорение, но сразу после преодоления НТ так же эффективно тормозится, что приближает КПД ускорителя к нулю. Этот случай (на рис. 1(а) выделен красным цветом) будет реализовываться в системах с большой индуктивностью и слишком высоким сопротивлением провода.

Во второй ситуации (выделено синим), наоборот, индуктивность контура настолько мала, что ток достигает своего максимума задолго до момента наиболее эффективного ускорения. Ясно, что в этом случае КПД также будет очень невысок - более эффективной была бы катушка с большим количеством витков, которая при той же силе тока оказала бы на снаряд большее воздействие, и к тому же в более подходящий момент времени.

Понятно, что  наиболее эффективным контуром будет тот, в котором ток имеет форму, близкую к выделенной сплошной зеленой кривой, т.е. нечто среднее между двумя описанными выше случаями. Моделирование в FEMM подобных систем, а также практика показывает, что в этом случае ток в НТ должен составлять приблизительно 1/3 от своего максимального значения (т.е. i0 ≈ 1/3 imax).

 

1.2. Режим "критического затухания" как наиболее благоприятный для ускорения снаряда.

Теперь используем термины теории электрических цепей. В [1] показано, что RLC-контуры койлганов могут быть двух типов: передемпфированные и недодемпфированные. В первому случае резистивно-емкостная постоянная RC/2 превышает значение индуктивно-резистивной 2L/R, во втором- наоборот. 

Для свободного недодемпфированного конутра разряд происходит по колебательному закону и сопровождается переполюсовкой емкости - ясно, что для портативных койлганов, в которых используются электролитические конденсаторы, этот режим исключен, поэтому на конденсаторы в этом случае ставится обратносмещенный диод - он препятствует их перезарядке, но способствует появлению длинного "хвоста" тока, который сильно тормозит снаряд. То есть использование недодемпфированного контура в койлганах малоэффективно.

Сильно передемпфированная система, с другой стороны, тоже дает неудовлетворительные результаты. Дело в том, что магнитное поле, ускоряющее снаряд, формируется не емкостью и активным сопротивлением, а именно обмоткой контура. Поэтому при малом значении 2L/R (т.е. при малой индуктивности) втягивающая сила будет очень слаба. 

Оба указанных случая проиллюстрированы на рис. 2.

Рис. 2. 

 

Из изложенного следует, что наиболее эффективной для ускорителя Гаусса будет система, обладающая максимальной индуктивностью, но при этом не переходящая в недодемпфированный режим. Такая система получается при отношении величин RC/2 и 2L/R, равном единице (т. наз. "критическое затухание"). Она же обеспечивает требования предыдущего раздела по максимальному "сдвигу" максимума тока вправо в сочетании с его скорейшим спадом.

Таким образом, для оценки максимально достижимой в портативном ускорителе скорости наряда достаточно проанализировать систему с критическим затуханием (т. к. она будет наиболее эффективной, и, следовательно, наиболее "скоростной).

 

2. Постановка задачи.

Попробуем перевести изложенные выше рассуждения на язык математики.

В [1] показано, что зависимость тока в цепи с критическим затуханием подчиняется следующему соотношению:

                                                      (1)

где U0 - начальное напряжение на емкости, R - активное сопротивление цепи, а

 - упомянутая выше индуктивная контура постоянная (по условию задач она же равна емкостной постоянной   ). 

 

Легко показать, что максимум тока для такой цепи дается выражением

imax = 2U0 ·exp(-1)/R ≈ 0,736·U0/R                          (2) ,

а наступает он в момент времени

 

Из формул (1) и (2), и соотношения для тока в НТ i01/3 imax (см. предыдущий раздел), легко вычислить момент времени t0, допустимый для преодоления снарядом середины катушки:

t0 3 tmax                                                                   (3)

Если считать, что катушка имеет длину l и ток подается в момент входа снаряда в катушку ( т. е. совпадения переднего торца снаряда с задним торцом катушки), то за время, определяемое соотношением (3), снаряд должен пройти расстояние, равное lОтсюда уже просто вычислить максимально достижимую скорость снаряда. Она определяется как 

 

                                                                     (4)

 

Как показано в [1], индуктивная постоянная катушки зависит только от ее габаритов, а именно:

                                 (5)

где a - плотность намотки (т. е. отношение диаметра провода без изоляции к диаметру провода в изоляции, обычно при прилежной намотке получается ≈ 0,85),

     d и D - внутренний и наружный диаметр катушки,  p - удельное сопротивление провода (для меди 1,75·10-6 Ом·см).

Таким образом, получается, что в ускорителе с тиристорной коммутацией максимально достижимая скорость снаряда определяется исключительно геометрическими параметрами ускоряющих обмоток.

Итак, наша задача свелась к определению vmax на основании анализа с помощью соотношений (4)  и (5) катушек различных форм, встречающихся в реальных конструкциях койлганов.

 

3. Решение.

Таблицы с решениями уравнений (4) и (5) относительно vmax для различных калибров койлгана d сведены на рис. 3. При этом, как и в предыдущей статье, я ограничился диапазоном длин катушек от l = d до 4·d (более длинные катушки, согласно моделированию в FEMM и множеству экспериментальных данных, дают крайне низкий КПД ускорения), и диапазоном наружных диаметров от D = 1,1·d до D = 2·d.

d=0,3 см d=0,5 см
d=0,8 см

d=1,2 см

Рис. 3. Табулированные значения

максимально достижимых

скоростей снаряда vmax

согласно уравнениям (4) и (5)

для различных внутренних

диаметров катушки d. 

d=2,0 см  

 

Цветовое выделение отдельных ячеек будет пояснено ниже.

Как видно, теоретический диапазон vmax простирается от единиц до сотен метров в секунду, причем максимальные значения достигаются для ускорителей наименьших калибров.

Следует также отметить, что абсолютные значения скорости для соответствующих конфигураций катушек приблизительно такие же, как для ускорителя с отключаемыми катушками - это наглядно иллюстрирует, что длинный спадающий "хвост" тока ограничивает предельную скорость не менее эффективно, чем фронт его нарастания.

Здесь необходима  оговорка: величины vmax оценены чисто теоретическим образом исходя только из габаритов системы. Если ускоритель имеет геометрические параметры, указанные в таблицах рис. 3, то это само по себе вовсе не означает, что обязательно  будут достигнуты соответствующие значения  vmax - они просто показывают те теоретические границы, к которым может приблизиться скорость снаряда. Чтобы получить более реалистичные оценки, необходимо использовать моделирование конкретной системы.

 

4. Ограничения.

По аналогии с предыдущей статьей, попробуем рассмотреть ограничения, накладываемые на диапазон полученных решений реальными условиями функционирования наших ускорителей.

1) Нагрев ускоряющих катушек.

Задача эта решается несколько сложнее, чем ранее,  поскольку условие идентичности катушек здесь отсутствует - теперь обмотки могут быть разными, и их количество ограничено только длиной ствола портативного ускорителя. При этом оказывается, что первые из катушек выгоднее сделать толще и подключить их к конденсатору большей емкости, а последние - тонкими и запитанными от малых емкостей. 

Примечание: по умолчанию полагается, что все катушки имеют одинаковую длину. Это логично, т. к. они должны соответствовать ускоряемому снаряду с фиксированными габаритами. Также, из практических соображений,   рассмотрение ограничено случаем, в котором все запасающие емкости имеют одинаковое напряжение.

Сказанное проиллюстрировано на рис. 4 и полностью совпадает с выводами разделов (1-2) - обмотка, размещенная в начале ствола, взаимодействует со снарядом длительное время и поэтому должна иметь большую индуктивную и емкостную постоянные, а последние по номерам катушки - наоборот.  

Рис. 4. Схематическое изображение многоступенчатого койлгана с осциллограммами токов в его катушках.

 

В такой ситуации нельзя сразу сказать, какая из катушек будет нагреваться сильнее - более "толстые" из них, расположенные в начале разгонного участка, имеют большую теплоемкость, но и тепловая энергия, рассеиваемая на них, выше. Призовем на помощь опыт, математику и здравый смысл.

Сначала попробуем оценить, какая энергия рассеивается на каждой катушке в доле от общего запаса энергии ускорителя. Для этого надо знать две закономерности:

- как меняется КПД ускорения (относительно усредненного значения) в зависимости от номера ступени;

- как ускоряется снаряд (т. е. какая доля кинетической энергии от итогового значения должна сообщаться снаряду на данной ступени ускорения).

Рассмотрение можно ограничить только первой и последней ступенями - логично предположить, что для всех остальных катушек ситуация будет лежать между этими двумя крайними случаями.

Закон изменения КПД можно проследить, опираясь на мой опыт построения многоступенчатых тиристорных ускорителей. Так, при экспериментах с системой ЕМ-3 выяснилось, что КПД начальной ступни приблизительно в 1,7 раз меньше среднего по ускорителю, а последней - в 1,6 раз больше.

Что касается ускорения снаряда, то можно утверждать, что оно происходит в диапазоне между двумя моделями - равноускоренным движением (что означает приложение к снаряду постоянной ускоряющей силы) и линейным нарастанием скорости (здесь снаряд приобретает равное приращение скорости на каждой ступени). Сказанное проиллюстрировано на рис. 5.

Рис. 5. Схема ускорения снаряда в койлгане - равноускоренная (голубой цвет) и с равным приращением скорости на всех ступенях (красный).

 

Если обозначить общую дину разгонного участка как S0 (так же, как на рисунке), а дульную энергию снаряда как Emax = (m*v2max)/2 (где m - масса снаряда), то легко показать, что приращения кинетической энергии, которые должен получать снаряд в рамках указанных моделей на первой и последней ступенях ускорения, подчиняются следующим соотношениям:

 

  Равноускоренное движение Линейное увеличение скорости
Первая ступень E1 ≈ Emax*(l/S0) E1 ≈ Emax*(l/S0)2
Последняя ступень EN ≈ (Emax *l)/(2*S0) EN ≈ (Emax *l)/S0

 

Выбирая усредненные значения между теми, что приведены в таблице, можно оценить приращения энергии снаряда как

E1 ≈ Emax*(l/S0)1,5

EN ≈ (Emax *l)/(1,5*S0)

Теперь, чтобы перевести эти величины в значения энерговыделения в катушках, которые и позволят прикинуть их нагрев, остается оценить средний КПД ускорителя. Как и ранее,  он считался пропорционален калибру и равен ≈ 8 % для диаметра d = 8 мм (эти данные хорошо совпадают с результатами моделирования в FEMM).

Для катушек, параметры которых приведены на рис. 3, был проведен расчет максимальной температуры нагрева, исходя из следующих параметров: средняя теплоемкость меди 0,4 Дж/(г ·°С), начальная температура катушек 25 ºС, длина разгона S0 ≈ 60 см (это, вероятно, максимум для портативного устройства, если принять во внимание, что наряду с самим катушками на стволе должны быть расположены датчики и иные элементы конструкции гауссовки). Cчиталось, что тепловой предел превышен, если итоговая температура была выше 300°С - именно при такой температуре теряют свойства термостойкие изоляционные лаки, используемые в электротехнике. Поскольку при выстреле в обмотке развиваются высокие механические напряжения, то следует ожидать, что в этом случае в катушке просто произойдет короткое замыкание. Подобные случаи выделены на рис. 3 красным. Как видно, они лимитируют vmax в двух самых "скоростных" системах калибра 3 мм.

По результатам расчета выяснилось, что, в противоположность случаю ранее рассмотренного ускорителя с одинаковыми катушками, коммутируемыми транзисторами, максимальный нагрев в тиристорном ускорителе имеет место в последней ступени разгона.

 

2) Ограничение по массе накопительной емкости.

Современные электролитические конденсаторы имеют некоторый предел по запасаемой энергии на единицу массы, который в зависимости от типономинала может иметь разное значение, но в среднем составляет около 3 граммов на 1 Джоуль. Исходя из этого, можно определить максимальную энергию, расходуемую на выстрел в размере ≈ 2000 Дж (это будет соответствовать весу конденсаторов около 6 кг, что, очевидно, близко к пределу для портативной системы). Сопоставив эту цифру с энергией снаряда, соответствующей теоретическим значениям vmax из рис. 3 с учетом априорной величины КПД для каждого калибра, указанной выше, можно получить диапазон значений скоростей, при которых энергоемкость системы не превышает установленный лимит. Очевидно, что выход на этот лимит будет достигаться, прежде всего, для длинных тяжелых снарядов, имеющих максимальную скорость.

Такие "запредельные" значения отмечены на рис. 3 синим выделением. Для них теоретический предел по vmax достижим только в стационарных ускорителях (если это не противоречит предыдущему пункту о нагреве катушек).

 

3) Влияние внутреннего сопротивления конденсаторов .

Эту величину часто обозначают аббревиатурой ESR (от англ. Equivalent Series Resistance). Оценить ее влияние на достижимую vmax очень интересно, т. к. среди гауссостроителей бытует мнение, что именно ESR является главным ограничивающим фактором для ускорителей с тиристорной коммутацией. Действительно, по мере ускорения снаряда конденсаторы должны отдавать запасенную в них энергию все быстрее, что вынуждает делать ускоряющие обмотки все более низкоомными. т. е. повышать диаметр провода и/или наматывать меньше его слоев. Рано или поздно наступает ситуация, когда сопротивление обмотки R становится сравнимым с ESR питающей емкости (обозначим его Rint) , и тогда  оказывается, что конденсатор вместо того, чтобы ускорять снаряд, разогревает самого себя. Очевидно, что наиболее критичной в этом смысле будет последняя ступень гауссовки, в которой должна достигаться vmax , и параметры которой использовались для расчета значений на рис. 3.

Из свойств электролитических конденсаторов известно, что, в пределах одной выбранной технологической линейки, ESR приблизительно обратно пропорциональна емкости: Rint*С ≈ const. Этот простой факт, на первый взгляд, только затрудняет анализ. Действительно, при эквивалентной энергоемкости мы можем выбрать низковольтный гаусс с большими конденсаторами, и тогда ESR будет велико и начнет влиять на ускорение только при очень высоких токах. Или, наоборот, можно использовать высоковольтную систему с большим ESR. Во всех этих случаях Rint будет различным, и подвести их всех "под одну гребенку" для универсального анализа кажется невозможным.

Однако, все сильно упрощается, если мы вспомним, что рассматриваем систему с "критическим затуханием", в которой

                                                                                     (6)

 

Величина индуктивной постоянной неявно определялась при вычислении значений рис. 3. В таблице рис. 6 ее значения приводятся явным образом в микросекундах.

Рис. 6. Пример расчета индуктивной постоянной для последней катушки системы калибром d=0,3 см. 

 

Из соотношения (6) следует, что:

 .

Если считать предельно допустимым значение Rint ≈ 0,5*R (эта граница во многом условна, но моделирование FEMM подтверждает, что заметное падение КПД начинается при ESR, составляющем 30...50% от сопротивления обмотки), то из приведенных выше формул следует, что условием непревышения Rint указанной границы служит простое соотношение: 

Осталось определить константу внутреннего сопротивления конденсаторов. Здесь Е.Васильев приводит ее значение в диапазоне 80..130 Ом*мкФ (т. е. конденсатор емкостью 1000 мкФ будет иметь  Rint ≈ 80..130 мОм). Похожая величина была включена в первоначальные версии скриптов FEMM для расчетов койлганов. Однако, мои собственные эксперименты показывают, что эти значения существенно завышены. Так, по результатам измерение нескольких линеек современных конденсаторов Jamicon, Samsung и EPCOS получилось значение Rint*С ≈ 20 Ом*мкФ. 

Примечание: это величина, близкая к минимальной, полученной в моих экспериментах. Взяв ее для расчетов, мы моделируем случай минимального  ESR, что соответствует самым качественным (низкоомным) моделям конденсаторов, т.е. рассматривается самый "оптимистический" сценарий ограничения скорости снаряда.

Таким образом, нам необходимо "отбраковать" те катушки, для которых индуктивная постоянная не превышает 20 мкс. На рис. 3 и 6 те конфигурации, которые попали под это ограничение, выделены желтым цветом. Видно, что наибольшим образом страдают малокалиберные системы. Для них можно сказать, что ESR действительно является очень существенным фактором, ограничивающим предельную скорость снаряда.

 

5. Выводы и обсуждение результатов.

По результатам изучения результатов на рис. 3, можно сделать следующие выводы:

1) Исходя из геометрических параметров, в портативных электромагнитных ускорителях с тиристорной коммутацией теоретически достижимы скорости около 200 м/с для калибров менее 8 мм. При этом наиболее "скоростными" оказываются снаряды диаметром ок. 5 мм.

2) Препятствием на пути к достижению более высоких скоростей для меньших калибров является перегрев катушек и (самое главное) ESR конденсаторных батарей, накапливающих энергию для выстрела, для более крупных калибров - ограничение по массе конденсаторов. При этом для крупных калибров (более 20 мм) скорость свыше 80 м/с не достигается просто исходя из геометрических свойств ускоряющих катушек (даже при снятии "весового" ограничения).

 

Легко видеть, что с точки зрения достижения высоких скоростей наиболее заманчивыми являются койлганы малого калибра. Такой вывод, однако, не очень обнадеживает с конструктивной точки зрения - ведь чем меньше калибр, тем короче каждая ступень ускорения и тем больше нужно ставить тиристорных ключей, чтобы обеспечить необходимую длину разгонного участка. Ограничение, связанное с влиянием ESR, тоже не очень понятно как обходить - вероятно, исправить ситуацию может только появление новых технологий производства электролитических конденсаторов, или внедрение принципиально новых типов конденсаторов как таковых.

Тем не менее, можно констатировать, что потенциал развития портативных многоступенчатых гауссовок с тиристорной коммутацией еще не исчерпан, и в ближайшее время следует ожидать появления все новых подобных конструкций.

 

Литература.

[1]. http://coilgun.ucoz.ru/publ/teoreticheskie_stati/matematika_coilgun/matematika_coilgun/5-1-0-7

 

Всем успехов в творчестве, 

Ваш Eugen.

Категория: Математика coilgun | Добавил: Eugen (16.03.2019)
Просмотров: 774 | Рейтинг: 5.0/1
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]